Ήρθε η ώρα να αναστηθεί αυτό το θρεντ και να μην εμφανίζεται μια στο τόσο όταν μαθητές ή φοιτητές έχουν απορίες…
Λοιπόν ξεκινάμε με ένα από τα πιο βασικά προβλήματα πιθανοτήτων.
Ονομάζεται “Problem Of Points” και θεωρείται η αρχή των πιθανοτήτων τον 17ο αιώνα.
Έχουμε 2 παίκτες οι οποίοι σκοπεύουν να παίξουν ένα δίκαιο παιχνίδι μέχρι ο ένας από τους 2 να κερδίσει σε αυτό έναν προκαθορισμένο αριθμό φορών. Οι 2 παίκτες θεωρούμε ότι έχουν την ίδια πιθανότητα να κερδίσουν κάθε παρτίδα και στο τέλος ο νικητής κερδίζει όλο το στοίχημα. Ας υποθέσουμε ότι το παιχνίδι είναι το στρίψιμο ενός νομίσματος και νικητής είναι όποιος κερδίσει πρώτος 6 παρτίδες. Το πρόβλημα είναι το εξής: Ας υποθέσουμε ότι το παιχνίδι έχει προχωρήσει και ο παίκτης Α ως τώρα έχει κερδίσει 5 παρτίδες ενώ ο παίκτης Β μόνο 3. Ξαφνικά για κάποιον λόγο το παιχνίδι πρέπει να διακοπεί. Τι ποσοστό από τα λεφτά του στοιχήματος αναλογούν σε κάθε παίκτη??
[SPOILER]Εφόσον ο Α χρειάζεται μόνο μια νίκη ακόμα και ο Β 3 είναι βέβαιο ότι το παιχνίδι θα τελείωνε το πολύ σε 1+3-1= 3 παρτίδες. Οι 3 αυτές παρτίδες έχουν 8 πιθανές καταλήξεις : {ΑΑΑ,ΑΑΒ,ΑΒΑ,ΑΒΒ,ΒΑΑ,ΒΑΒ,ΒΒΑ,ΒΒΒ}
Ο Α κερδίζει συνολικά αν κερδίσει μια τουλάχιστον ακόμα φορά άρα αυτό γίνεται με 7 από τα προηγούμενα 8 ενδεχόμενα άρα έχει πιθανότητα 7/8 οπότε πρέπει να πάρει τα 7/8 του στοιχήματος όπως είπε και ο Παναγιώτης.
Αν πάλι δε θες να βρεις αναλυτικά το δειγματικό χώρο λες ότι ο Α κερδίζει συνολικά αν κερδίσει σε 1 ή 2 ή 3 παρτίδες και αυτό γίνεται με C(3,1)+C(3,2)+C(3,3)=3+3+1=7τρόπους, όπου C(n,k) είναι οι συνδυασμοί των n στοιχείων ανά κ. [/SPOILER]
boig καλό ειναι στο δεύτερο τρόπο να εξηγήσεις και πως βρίσκεις το 8. στο 7/8 , 7 = ενδεχόμενα να κερδίσει ο Α, 8 = συνολικά ενδεχόμενα = ενδεχόμενα να κερδίσει ο Α σε 0,1,2,3 παρτίδες = C(3,0) + C(3,1) + C(3,2) + C(3,3) = 1 + 3 + 3 + 1 = 8.Για τους αμύητους ισχύει ότι C(n,k) = n!/((n-k)!k!) όπου n! = 123…*n
o συλλογισμός δεν ειναι τελείως σωστός, αν και σου βγάινει αυτό που θες (να δικαιολογήσεις το 8 ).
Τα συνολικά ενδεχόμενα είναι οι περιπτώσεις που κερδίζει ο Α (που είναι ίσες με 7) συν οι περιπτώσεις που κερδίζει ο Β (που είναι μόνο 1). Άρα 7 + 1 = 8. Μπορεί να εννούσες αυτό με τους συνδυασμούς του 3 ανα 0 (αλλά δεν βγάζει νόημα).
Ο πιο εύκολος τρόπος νομίζω να το εξηγήσεις είναι ότι ψάχνεις στην ουσία την πιθανότητα να κερδίσει ο Α. Αυτό γίνεται (όπως είπε και ο boig) κερδίζοντας ή σε 1 ή 2 ή 3 παρτίδες. Αυτά μεταξύ τους είναι ξένα ενδεχόμενα και απλά προσθέτεις πιθανότητες:
P(κερδίζει ο Α σε μία παρτίδα) = 1/2
P(κερδίζει ο Α σε 2 παρτίδες) = P(χανει στην 1η, κερδίζει στην 2η) = P(χανει στην 1η)*P( κερδίζει στην 2η) = (1/2)^2
P(κερδίζει ο Α σε 3 παρτίδες) = P(χανει στην 1η, χανει στην 2η, κερδίζει στην 3η) = P(χανει στην 1η)*P( χάνει στην 2η)*P( κερδίζει στην 3η) = (1/2)^3
Ειναι πιο εύκολο στην κατανόηση έτσι, από κάποιον που δεν ξέρει τί είναι συνδυασμοί. Από την άλλη, θα πρέπει να ξέρει τί είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα βέβαια (και γιατί η τομή τους βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας πιθανότητες) και τί είναι ξένα ενδεχόμενα (και γιατί η ένωσή τους βρίσκεται αθροίζοντας πιθανότητες).
Ε αν δεν έχει κάνει πιθανότητες κάποιος είναι πιο δύσκολο να κατανοήσει τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα.Και εγώ που είμαι μαθηματικό φέτος θα τις πάρω οπότε διάλεξα τους συνδυασμούς για την κατανόηση.Απλά το C(3,0) είναι το ενδεχόμενο να μην κερδίσει σε καμία παρτίδα ο Α = νίκη σε 0 παρτίδες,άρα το ενδεχόμενο να χάσει το παιχ΄νιδι ο Α.
Και εγώ Μαθηματικό ήμουν (once upon a time) και όταν πρωτοέκανα πιθανότητες εκεί, τις αγάπησα. (τρίτο εξάμηνο νομίζω;;;;). Και ήταν και η κατεύθυνση που ακολούθησα, και ακόμα και τώρα (10 - 11 χρόνια μετά) με αυτά ασχολούμαι (ερευνητικά μεν). Ενώ στο Λύκειο είχα μια απέχθεια για αυτές (λόγω του ότι προσπαθούσαν να μας φορτώσουν μόνο με τύπους συνδυασμών/μεταθέσεων/διατάξεων και δεν ήταν εκεί η ουσία).
αλλά! Ας πούμε ότι παίζεις το παιχνίδι πολλές φορές και εκτιμάς την παραπάνω πιθανότητα από το πόσες φορές κέρδισε ο Α διά το πόσες φορές παίξατε, αν δεν με γελούν οι πρόχειροι υπολογισμοί μου…
Για να είσαι 90% ΣΙΓΟΥΡΟΣ ότι αυτό που θα εκτιμήσετε (παίζοντας) δεν θα διαφέρει από την άγνωστη πιθανότητα πάνω από 0.005, θα πρέπει να παίξετε το παιχνίδι τουλάχιστον 27055 φορές.
Για να είσαι 95% ΣΙΓΟΥΡΟΣ ότι αυτό που θα εκτιμήσετε (παίζοντας) δεν θα διαφέρει από την άγνωστη πιθανότητα πάνω από 0.005, θα πρέπει να παίξετε το παιχνίδι τουλάχιστον 38414 φορές.
Για να είσαι 99% ΣΙΓΟΥΡΟΣ ότι αυτό που θα εκτιμήσετε (παίζοντας) δεν θα διαφέρει από την άγνωστη πιθανότητα πάνω από 0.005, θα πρέπει να παίξετε το παιχνίδι τουλάχιστον 66349 φορές.
ε είναι σε όλα τα εξάμηνα.Απλά εσύ μάλλον πρόλαβες το παλιό πρόγραμμα με 42 μαθήματα,που οι πιθανότητες θα ήταν στα χειμερινά εξάμηνα μόνο.Τέσπα,ερευνητικά που δουλεύεις δηλαδής?
Τώρα που το ξανακοιτάω, αυτή η λύση είναι πιο σωστή από τη δική μου γιατί θεωρείς ότι το παιχνίδι σταματάει μόλις ο Α κερδίσει την μια παρτίδα που χρειάζεται ενώ εγώ ,παρότι είπα ότι θα παιχτούν το πολύ 3 παρτίδες, θεώρησα ότι θα παιχτούν ακριβώς 3 γιαυτό και έβγαλα 2^3 πιθανές καταστάσεις…
Απλά χρησιμοποίησες τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας (ευνοϊκές προς δυνατές)! Σωστό είναι κ έτσι όπως το σκέφτηκες, απλά θα πρέπει να καταγράψεις όλες τις περιπτώσεις, όπως έκανες.
εχω απορια…δεν εχει σχεση με προβληματα κτλπ αλλα νομιζω θα μπορεσετε να μου απαντησετε…πως να διαβαζω μαθηματικα??εν οψη πανελληνιων εχω θεμα στο πως να διαβασω μαθηματικα-φυσικη οσον αφορα το τι να κανω περα απο το να ειμαι συνεπης…λυνω οτι ασκησεις εχω για φροντιστηρια,σχολεια κτλπ…μετα τι?!
Aν κάνεις πολλές ασκήσεις είσαι καλυμμένος. Και όχι μόνο στανταρ ασκήσεις αλλά και πιο τσιμπημένες. Έτσι και θα “ανοιξει” το μυαλό σου αλλά και αν πέσει κάτι στανταρ στα θέματα(που πάντα πέφτει) θα μπορέσεις να το γράψεις κατά πάσα πιθανότητα.
Επίσης δεν παραμελούμε τη θεωρία και δεν την αφήνουμε όλη για το τέλος. Επειδή έχει αρκετούς ορισμούς αποδείξεις θεωρημάτων κλπ καλό είναι να ξεκινήσεις να τα μαθαίνεις παπαγαλία(δυστυχώς) για να μπορέσεις να τα ξεπετάξεις σε ελάχιστο χρόνο στην εξέταση.
papardela, στην αρχή βάζεις να παίζει το endorama των kreator (εγώ αυτό άκουγα τότε χαχα).
Οκ σοβαρά τώρα. το θέμα είναι να κατανοείς τί κάνεις και να μην μαθαίνεις τίποτα απέξω. Ντάξει, θα λύσεις όσες ασκήσεις μπορείς, αλλά το πιο βασικό πράγμα για την κατανόηση στα μαθηματικά είναι η θεωρία. Και δεν εννοώ να την μάθεις απέξω όπως προαναφέρθηκε. Είναι άχρηστο να μάθεις μια απόδειξη απέξω (υπάρχουν πάρα πολλές - θα κάτσεις να τις παπαγαλίσεις όλες;). Εϊναι πολύ χρήσιμο όμως να προσπαθήσεις να κατανοήσεις μια απόδειξη και να ξέρεις σε κάθε βήμα την λογική της. Αυτό είναι το Α και το Ω. Άμα το καταφέρεις, θα είναι σαν να έχεις λύσει αμέτρητες ασκήσεις. Και άμα κατανοήσεις μία αποδειξη, θα κατανοήσεις και άλλες μετα.
Ώπα. Σαφώς και δεν είναι σωστό κάτι τέτοιο. Αλλά οι πανελλήνιες είναι εξετάσεις. Θες να γράψεις καλά. Και αν οι διορθωτές κόβουν γιατί δεν γράφεις την έκφραση του βιβλίου στην απόδειξη(ναι το κάνουν) και δεν κοιτάνε την ουσία της πρέπει να προσαρμοστείς στο σύστημα των εξετάσεων.
Νομίζω ότι ξεφεύγουμε αρκετά από την ουσία. Για μένα άλλο να μάθεις μαθηματικά και άλλο να διαβάζεις μαθηματικά για πανελλήνιες.
Βασικά δεν υπάρχει στάνταρ τρόπος διαβάσματος, ο καθένας με τους ρυθμούς και τον τρόπο που τον βολεύει.Το μόνο σίγουρο είναι αυτό που είπε και η ελπίδακαλπάζειμόνη ότι διαφορετικά τα μαθηματικά στο σχολείο,διαφορετικά στο πανεπιστήμιο (και διαφορετικά στο μαθηματικό θα πρόσθετα εγώ).
Καλό είναι να προσπαθείς να αντιληφθείς διαισθητικά τις έννοιες,δηλαδή να κοιτάς τι σημαίνουν γεωμετρικά.Δηλαδή τι σημαίνει το θεώρημα μπολζάνο και γιατί είναι ανάγκη να είναι συνεχής η συνάρτηση,τι σημαίνει γεωμετρικά η παράγωγος.Αφού τα κατανοήσεις αυτά (μερικώς) έρχονται οι ασκήσεις όπου θα αυξήσουν την ποσότητα κατανόησης χωρίς να φτάνεις ποτέ στο φουλ (ακόμα και εγώ που είμαι στο μαθηματικό ακόμα περνάω φάσεις που κατανοώ τι σημαίνει πραγματικά παράγωγος,βρίσκω άλλους τρόπους να την εκφράσω γεωμετρικά και να την ερμηνεύσω,αλλά αυτό συμβαίνει επειδή λαμβάνω και άλλες γνώσεις γύρω από την ανάλυση και τις συνδέω).
Αυτό πιστεύω το διάβασμα που μπορεί να γίνει στην τρίτη λυκείου (τουλάχιστον εγώ έτσι διάβαζα όσο μπορούσα και είχα χ΄ρονο) είναι αρκετά καλό και για να τα κατανοήσεις!
